Assioma dell'unione

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Nella teoria degli insiemi, l'assioma dell'unione è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

\forall A, \exist B, \forall c: c \in B \iff (\exist D: c \in D \and D \in A)

oppure a parole:

Dato un generico insieme A, esiste un insieme B tale che, dato un generico elemento c, c è un elemento di B se e solo se esiste un insieme D tale che c è un elemento di D e D è un elemento di A.

Quindi quello che l'assioma sta realmente dicendo è che, dato un insieme A, possiamo trovare un insieme B i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di A. Per l'assioma di estensionalità questo insieme B è unico ed è chiamato unione di A, e indicato con A. Assieme all'assioma della coppia implica che, per ogni coppia di insiemi, esiste un insieme che contiene esattamente gli elementi di entrambi. L'essenza dell'assioma è:

L'unione di un insieme è un insieme.

L'assioma dell'unione è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi.

Si noti che non esiste nessun corrispondente assioma di intersezione. Nel caso in cui A sia l'insieme vuoto, non esiste intersezione di A nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. D'altra parte, se A ha qualche elemento B, allora possiamo formare l'intersezione A come: {C : C in B e, per ogni D in A, C è in D} usando lo schema di assiomi di specificazione.

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