Assioma dell'insieme potenza

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In matematica, l'assioma dell'insieme potenza è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall B: B \in {\mathcal{P}(A)} \iff (\forall C: C \in B \implies C \in A)

Oppure a parole:

Dato un generico insieme A, esiste un insieme \mathcal{P}(A) tale che, dato un generico insieme B, B è un elemento di \mathcal{P}(A) se e solo se B è un sottoinsieme di A.

Per l'assioma di estensionalità questo insieme è unico. Chiamiamo l'insieme \mathcal{P}(A) insieme potenza di A. Talvolta questo insieme è indicato con il simbolo \mathfrak{P}(E). Quindi l'essenza dell'assioma è:

Ad ogni insieme corrisponde un insieme potenza.

L'assioma dell'insieme potenza è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi.

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

L'assioma dell'insieme potenza permette la definizione del prodotto cartesiano di due insiemi X e Y:

 X \times Y = \{ (x, y) : x \in X \land y \in Y \}.

Il prodotto cartesiano è un insieme dal momento che

 X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)).

Si può definire il prodotto cartesiano di ogni collezione finita di insiemi ricorsivamente:

 X_1 \times \cdots \times X_n = (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n.
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