Arg max

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In matematica, arg max sta per argomento del massimo, che significa l'insieme dei punti di un dato argomento per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo:[1]

\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) := \{x\ |\ \forall y : f(y) \le f(x)\}

In altre parole,

\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x)

è l'insieme dei valori di x per i quali f(x) raggiunge il suo più alto valore M. Per esempio, se f(x) è 1−|x|, raggiungerà il suo valore massimo 1 per x = 0 e solo in quel punto, quindi \underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = \{0\}.

Equivalentemente, se M è il massimo di f, allora l'arg max è l'insieme di livello del suo massimo:

\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = f^{-1}(M) = \{x\ |\ f(x) = M \}

Se il massimo è raggiunto per un singolo valore, allora ci si riferisce a tale punto come il massimo argomento, cioè si definisce l'arg max come un punto, non un insieme di punti. Così, per esempio,

\underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5

(piuttosto che il singoletto \{5\}), poiché il valore massimo di x(10 − x) è 25, il quale si ottiene per x = 5.[2]

Tuttavia, nel caso in cui il massimo fosse raggiunto in molti valori, arg max è un insieme di punti.

Quindi, si ha per esempio

\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}} \, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}

poiché il valore massimo di cos(x) è 1, il quale si ottiene per x = 0, 2π o 4π. Sull'intera retta reale, l'arg max è \{0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \dots \}.

Si noti inoltre che le funzioni, in generale, non raggiungono un valore massimo, e quindi in generale non hanno un massimo argomento: \underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x non è definito, così x è illimitato sulla retta reale. Tuttavia, per il Teorema di Weierstrass (o per le proprietà degli spazi compatti), una funzione continua su un compatto ammette massimo, e quindi un arg max.

Arg min[modifica | modifica sorgente]

arg min sta per argomento del minimo, ed è definito per analogia. Per esempio,

\underset{x}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x)

sono i valori di x per i quali f(x) raggiunge il suo valore minimo m.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Per maggior chiarezza, ci riferiamo all'input (x) come punti e all'output (y) come valori; confronta con Punto critico.
  2. ^ Differenziando, otteniamo 10-2x=0.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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