Arbelo

Arbelo

L'arbelo è la prima figura che prende il nome da oggetti di uso quotidiano, in particolare da attrezzi artigianali o contadini. Il termine arbelo deriva dal greco e indica il "trincetto da calzolaio".

Sul diametro $\overline{AB}$ di un semicerchio si fissa un punto qualsiasi O, e si descrivono le due semicirconferenze interne al semicerchio dato e aventi come diametro rispettivamente $\overline{AO}$ e $\overline{OB}$. La figura che ne risulta, limitata dalle 3 semicirconferenze, è stata oggetto di studio da parte di Archimede.

Posto $\overline{OA} = a$ e $\overline{OB} = b$ la superficie dell'arbelo che indichiamo con $S$ è:

$S = \frac{\pi }{2}\left[ {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2 - \left( {\frac{a}{2}} \right)^2 - \left( {\frac{b}{2}} \right)^2 } \right] = \frac{\pi }{4}ab$

Indicato con $h$ la lunghezza del segmento $\overline{OC}$ innalzato perpendicolarmente ad $\overline{AB}$ fino ad incontrare la semicirconferenza maggiore in C, per il secondo teorema di Euclide: si ha che $h^2 =ab$, pertanto il valore della superficie può essere espresso anche come $S = \left( {\frac{h}{2}} \right)^2 \pi$ si può pertanto concludere che

• L'area dell'arbelo è uguale a quella cerchio di diametro $OC$ .

Se indichiamo con $P$ la lunghezza del contorno dell'arbelo si ha:

$P = \frac{\pi }{2}\left( {a + b + a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\pi$

• La lunghezza del contorno dell'arbelo è uguale a quella della circonferenza di diametro $\overline{AB}$.

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