Ammortamento a rate costanti (francese)

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L'ammortamento a rate costanti (francese) prevede che le rate siano posticipate e la somma ricevuta dal debitore all'inizio (t = 0) sia il valore di una rendita a rate costanti. Ciascuna rata è composta dalla somma di una quota capitale e di una quota interessi sul capitale residuo: si assume che la quota capitale sia progressivamente crescente con il pagamento delle rate.

Nel caso francese, la rata è costante e il tasso variabile. I mutui a rata costante e a tasso fisso sono varianti del metodo francese, e sono quelli italiano e tedesco, detti a quote costanti.

Per l'attualizzazione delle rate deve essere soddisfatto il vincolo di equivalenza finanziaria che in questo caso equivale a scrivere la seguente:

(1):S=\sum_{k=1}^{n}C_k=\sum_{k=1}^{n}\frac{R}{(1+i)^ {(n-k+1)}}

dove S è il capitale prestato, R è l'importo della rata, i il tasso di interesse nominale del periodo, n il numero di rate. L'indice k scorre dalla prima rata alla n-esima. Da questa formula, noti capitale prestato, tasso di interesse nominale e numero di rate, è possibile calcolare R.

Ck corrisponde alla quota capitale della k-esima rata:

(2): C_k=\frac{R}{(1+i)^ {(n-k+1)}}

Si desume dalla (1) che tra una quota e la successiva vale la seguente relazione:

\frac{C_k}{C_{k-1}}=1+i

Ne deriva che ciascuna quota capitale puo' essere scritta a partire dalla prima quota C1:

Ck = Ck − 1(i + 1) = ... = C1(1 + i)k − 1 con k= 1,.., n.

Inoltre dalla (2) si ricava facilmente:

C_n=\frac{R}{1+i}

dalla quale, utilizzando la relazione tra C1 e Ck definita in precedenza, si può ricavare una espressione per C1 in funzione di R:

C_1=\frac{R}{(1+i)^{n}}

ne consegue per la quota capitale della rata k-esima:

C_k=C_1(1+i)^{k-1}=\frac{R}{(1+i)^{n}}(1+i)^{k-1}=\frac{R}{(1+i)^{(n-k+1)}} con k= 1, 2,.., n.

A questo punto si può scrivere direttamente la formula per il debito residuo e quella per l'interesse in ciascun periodo k.

D_k=\sum_{h=k+1}^{n}C_h=R\sum_{h=k+1}^{n}(1+i)^{-(n-h+1)}=\frac{R}{i}[1-\frac{1}{(1+i)^{n-k}}] con k= 1, 2,.., n - 1

I_k=R-C_k=R-\frac{R}{(1+i)^{(n-k+1)}}=R[1-\frac{1}{(1+i)^{(n-k+1)}}] con k= 1, 2,.., n.

Notare che in ogni periodo vale

\displaystyle R=C_k+iD_{k-1} con k= 1, 2,.., n.

Dalla precedente formula risulta che la rata R è sempre la somma della quota capitale del periodo k, cioè Ck, più gli interessi sul debito residuo del periodo precedente, cioè iDk − 1. La formula (2) della quota capitale Ch si ricava infatti risolvendo

C_k=R-iD_{k-1}=R-iC+i\sum^{k-1}_{h=1}C_h

La quota interessi prevale nella prima metà del mutuo, per la restante durata prevale la quota capitale. Le estinzioni anticipate, sia parziali che totali, sono quindi più convenienti nei primi anni di mutuo, dove è prevalente la quota interessi.

Nel caso di rata costante e tasso variabile, la durata dell'ammortamento non è predeterminata, e il mutuatario non sa precisamente quando sarà estinto il debito. Se i tassi di interesse crescono, aumenta la durata del mutuo.

I tassi di interesse possono arrivare a un livello tale che la quota interessi, da sola, supera la rata costante pattuita: la quota capitale si azzera e in pratica il mutuatario non è più in grado rimborsare il suo debito, ovvero nemmeno di coprire interamente la quota interessi.

In questo secondo caso, scattano gli interessi di mora per il ritardato pagamento. Il creditore può rinegoziare il debito, o aumentando la rata o allungando la durata del mutuo, altrimenti può procedere con i pignoramenti. In Italia, il Decreto Tremonti ha obbligato le banche a concedere una forma di rinegoziazione del mutuo.

In alternativa, esistono mutui a tasso variabile "capped", con un massimo praticabile dalla banca. Per questi mutui, in genere, la banca pratica uno spread più alto. È però nota la quota massima di interessi che il debitore dovrà pagare e, quindi, la durata massima che potrà avere il mutuo, in base alla rata scelta.

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