Algebra supercommutativa

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In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una Z2-algebra graduata) in cui per ogni coppia x e y di elementi omogenei si ha:

yx = (-1)^{|x| |y|}xy.

In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx

è sempre nullo

dove con:  |x| e  |y| si sono indicate le gradazioni rispettivamente di x e y. La gradazione

 |x|

vale:

a) 0 (zero) per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari;

b) 1 (uno) per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari[1].

La relazione

[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx

può essere riscritta così:

1) un anticommutatore

[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx
\{x,y\}= xy + yx

quando x e y sono due operatori fermionici, che soddisfano all'algebra di Grassmann[2];

2) un commutatore

[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx
[x,y] = xy - yx

in tutti gli altri casi (ovvero x e y sono o due operatori bosonici oppure un operatore bosonico e uno fermionico)[3].

Ogni algebra commutativa (ovvero ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè tutti gli elementi siano pari). L'algebra di Grassmann (nota anche come algebra esterna) sono i più comuni esempi di banali algebre supercommutative. Il supercentro di qualsiasi superalgebra[4], è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa[5].

Commutatore[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, un commutatore è un oggetto che è diverso da zero precisamente quando una operazione binaria non soddisfa la proprietà commutativa.

I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi e nella teoria degli anelli. Nella meccanica quantistica, i commutatori sono usati per formulare il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Teoria dei gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia G un gruppo. Il commutatore di due elementi a e b del gruppo è l'elemento

 [a,b] = a^{-1}b^{-1}ab.

In alcuni testi, il commutatore è definito in modo lievemente differente:

 [a,b] = aba^{-1}b^{-1}.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Due elementi a e b commutano quando ab=ba. Questo accade se e solo se il commutatore si riduce all'elemento identico:

 [a,b] = 1.

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di G è detto sottogruppo dei commutatori. Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è banale.

Teoria degli anelli[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un anello. Il commutatore di due elementi a e b è l'elemento

[a,b] = ab-ba.\,\!

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Due elementi a e b commutano se ab=ba. Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:

[a,b] = 0.

Il commutatore è una funzione bilineare:

[a,b+c] = [a,b]+[a,c],
[a+b,c] = [a,c]+[b,c].

Il commutatore è anticommutativo:

[a,b] = - [b,a]

Ne segue che il commutatore è nilpotente:

[a,a] = 0.

Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:

[a,[b,c]] + [b,[c,a]] + [c,[a,b]] = 0

Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibnitz:

[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]

Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibnitz per la mappa

D_a:A\to A,
D_a: b\mapsto [a,b].

che quindi definisce una derivazione dell'anello.

Altre relazioni:

[ab,c] = a[b,c] + [a,c]b,
[a,bc] = [ab,c] + [ca,b],
[abc,d] = ab[c,d] + a[b,d]c + [a,d]bc.

Algebra di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Se A è una algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:

[\lambda a, b] = \lambda [a,b] = [a,\lambda b].

Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in A con l'operazione binaria

 (a,b)\mapsto [a,b]

si ottiene una nuova struttura di algebra per A: più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in una algebra di Lie.

Esempi negli Spazi di matrici[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici n\times n su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

Operatori su spazi di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici reali n\times n agiscono sullo spazio euclideo \R^n. Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert H.

In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente H è un determinato spazio di funzioni.

Ad esempio, se H è uno spazio di funzioni di una variabile reale x a valori complessi, l'operatore di posizione moltiplica ogni funzione per x:

\hat{x}: f \mapsto x\cdot f

mentre l'operatore di momento è una derivata:

\hat{p}:f \mapsto -i\hslash\frac{\partial f}{\partial x}.

I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti

\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) -  \left(-i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \right) x.

Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione f(x) e si ottiene il seguente risultato:

\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] f(x) =  x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) f(x) +i\hslash   \frac{ \partial}{\partial x} \big( x f(x) \big) =
 -i \hslash \left[ x\frac{\partial}{\partial x}f(x) - f(x) -x \frac{\partial}{\partial x}f(x)  \right] = i \hslash f(x).

Poiché la relazione vale per ogni funzione f di H, si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante i \hslash:

\left [\hat{x}, \hat{p}\right ]: f \mapsto i \hslash f.

Questa relazione è

La generalizzazione e a tre dimensioni con

\hat{\textbf x} = \left\{ {\hat x_1 ,\hat x_2 ,\hat x_3 } \right\}, \hat{\textbf p} = \left\{ {\hat p_1 ,\hat p_2 ,\hat p_3 } \right\}

è la seguente:

\left [\hat{x}_i, \hat{p}_j\right ]=i \hslash \delta_{ij}

dove \delta_{ij} è la delta di Kronecker.

Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove n è un intero maggiore o uguale a zero e f(p) e g(x) due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:

  • \left [\hat{x}, \hat{p}^n\right ] = i \hslash n \hat{p}^{n-1}
  • \left [\hat{x}^n, \hat{p}\right ] = i \hslash n \hat{x}^{n-1}
  • \left [\hat{x}, f(\hat{p})\right ] = i \hslash \frac{\partial f}{\partial p}
  • \left [g(\hat{x}), \hat{p}\right ] = i \hslash \frac{\partial g}{\partial x}

Anticommutatore[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un anello. L'anticommutatore di due elementi a e b è l'elemento:

\{a,b\}=ab+ba

L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori, ovvero:

\{a,b\}=ab+ba

con a e b che sono due operatori.

L'algebra graduata[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Gli anelli graduati[modifica | modifica wikitesto]

Un anello graduato A is un anello che ha una decomposizioni in una somma diretta di gruppi (abeliani) additivi:

A = \bigoplus_{n\in \mathbb N}A_n = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfa alla seguente proprietà:

x \in A_s, y \in A_r \implies xy \in A_{s+r}

e così che:

 A_s A_r \subseteq A_{s + r}.

Gli elementi A_n sono noti come elementi omogenei di grado n. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento a\in A ammette una decomposizione unica come somma:

 a=\sum _{n} a_n

dove a_n\in A_n per tutti gli n\in\mathbb{N}; gli elementi a_n sono talvolta chiamati parti omogenee di a.

Un sottoinsieme ideale oppure un sottoinsieme \mathfrak{a}A è omogeneo se per ogni elemento a\mathfrak{a}, le parti omogenee di a sono pure contenute in \mathfrak{a}.

Se I è un insieme omogeneo ideali in A, allora A/I è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

A/I = \bigoplus_{n\in \mathbb N}(A_n + I)/I.

L'algebra graduata definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Un'algebra A su un anello R è un'algebra graduata se è graduato come un anello. Nel caso in cui un anello R è anche un anello graduato, allora si richiede che:

  1. AiRjAi+j, e
  2. RiAjAi+j.

Si noti che la definizione di 'anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove "R" è graduato in modo banale (ogni elemento della "R" è di grado zero).

Superalgebra[modifica | modifica wikitesto]

In matematica e in fisica teorica una superalgebra è una Z2- algebra graded (algebra graduata)[6]. Vale a dire, si tratta di un'algebra su un anello commutativo o un campo che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari" ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".

Il prefisso super- deriva dalla teoria della supersimmetria in fisica teorica. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria[7]. Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Sia K un fissato anello commutativo; nella maggior parte delle applicazioni K è un campo come R o C.

Una superalgebra su K è un K-modulo A con una decomposizione in una somma diretta:

A = A_0\oplus A_1

con una moltiplicazione bilineare A × AA tale che:

A_iA_j \sube A_{i+j}

con gli indici che hanno modulo 2.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985
  2. ^ Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  3. ^ Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  4. ^ Vedi centro di un gruppo
  5. ^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .
  6. ^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .
  7. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
  • Junker G. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer-Verlag (1996).
  • Kane G. L., Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X.
  • Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  • Wess, Julius, and Jonathan Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4.
  • Bennett GW, et al; Muon (g−2) Collaboration, Measurement of the negative muon anomalous magnetic moment to 0.7 ppm in Physical Review Letters, vol. 92, nº 16, 2004, p. 161802, DOI:10.1103/PhysRevLett.92.161802, PMID 15169217.
  • (EN) Cooper F., A. Khare, U. Sukhatme. Supersymmetry in Quantum Mechanics, Phys. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv:hep-th/9405029).
  • (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
  • (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]