Algebra supercommutativa

In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una Z₂-algebra graduata) in cui per ogni coppia x e y di elementi omogenei si ha:

$yx = (-1)^{|x| |y|}xy.$

In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

$[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx$

è sempre nullo

dove con: $|x|$ e $|y|$ si sono indicate le gradazioni rispettivamente di x e y. La gradazione

$|x|$

vale:

a) 0 (zero) per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari;

b) 1 (uno) per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari.

La relazione

$[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx$

può essere riscritta così:

1) un anticommutatore

$[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx$

$\{x,y\}= xy + yx$

quando x e y sono due operatori fermionici, che soddisfano all'algebra di Grassmann ;

2) un commutatore

$[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx$

$[x,y] = xy - yx$

in tutti gli altri casi (ovvero x e y sono o due operatori bosonici oppure un operatore bosonico e uno fermionico) .

Ogni algebra commutativa (ovvero ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè tutti gli elementi siano pari). L'algebra di Grassmann (nota anche come algebra esterna) sono i più comuni esempi di banali algebre supercommutative. Il supercentro di qualsiasi superalgebra, è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa.

Commutatore

In matematica, un commutatore è un oggetto che è diverso da zero precisamente quando una operazione binaria non soddisfa la proprietà commutativa.

I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi e nella teoria degli anelli. Nella meccanica quantistica, i commutatori sono usati per formulare il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Teoria dei gruppi

Definizione

Sia $G$ un gruppo. Il commutatore di due elementi $a$ e $b$ del gruppo è l'elemento

$[a,b] = a^{-1}b^{-1}ab.$

In alcuni testi, il commutatore è definito in modo lievemente differente:

$[a,b] = aba^{-1}b^{-1}.$

Proprietà

Due elementi $a$ e $b$ commutano quando $ab=ba$. Questo accade se e solo se il commutatore si riduce all'elemento identico:

$[a,b] = 1.$

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di $G$ è detto sottogruppo dei commutatori. Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è banale.

Teoria degli anelli

Sia $A$ un anello. Il commutatore di due elementi $a$ e $b$ è l'elemento

$[a,b] = ab-ba.\,\!$

Proprietà

Due elementi $a$ e $b$ commutano se $ab=ba$. Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:

$[a,b] = 0.$

Il commutatore è una funzione bilineare:

$[a,b+c] = [a,b]+[a,c],$

$[a+b,c] = [a,c]+[b,c].$

Il commutatore è anticommutativo:

$[a,b] = - [b,a]$

Ne segue che il commutatore è nilpotente:

$[a,a] = 0.$

Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:

$[a,[b,c]] + [b,[c,a]] + [c,[a,b]] = 0$

Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibnitz:

$[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]$

Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibnitz per la mappa

$D_a:A\to A,$

$D_a: b\mapsto [a,b].$

che quindi definisce una derivazione dell'anello.

Altre relazioni:

$[ab,c] = a[b,c] + [a,c]b,$

$[a,bc] = [ab,c] + [ca,b],$

$[abc,d] = ab[c,d] + a[b,d]c + [a,d]bc.$

Algebra di Lie

Se $A$ è una algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:

$[\lambda a, b] = \lambda [a,b] = [a,\lambda b].$

Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in $A$ con l'operazione binaria

$(a,b)\mapsto [a,b]$

si ottiene una nuova struttura di algebra per $A$: più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in una algebra di Lie.

Esempi negli Spazi di matrici

Le matrici $n\times n$ su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

Operatori su spazi di Hilbert

Le matrici reali $n\times n$ agiscono sullo spazio euclideo $\R^n$. Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert $H$.

In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente $H$ è un determinato spazio di funzioni.

Ad esempio, se $H$ è uno spazio di funzioni di una variabile reale $x$ a valori complessi, l'operatore di posizione moltiplica ogni funzione per $x$:

$\hat{x}: f \mapsto x\cdot f$

mentre l'operatore di momento è una derivata:

$\hat{p}:f \mapsto -i\hslash\frac{\partial f}{\partial x}.$

I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti

$\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) - \left(-i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \right) x.$

Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione $f(x)$ e si ottiene il seguente risultato:

$\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] f(x) = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) f(x) +i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \big( x f(x) \big) =$

$-i \hslash \left[ x\frac{\partial}{\partial x}f(x) - f(x) -x \frac{\partial}{\partial x}f(x) \right] = i \hslash f(x).$

Poiché la relazione vale per ogni funzione $f$ di $H$, si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante $i \hslash$:

$\left [\hat{x}, \hat{p}\right ]: f \mapsto i \hslash f.$

Questa relazione è

La generalizzazione e a tre dimensioni con

$\hat{\textbf x} = \left\{ {\hat x_1 ,\hat x_2 ,\hat x_3 } \right\}, \hat{\textbf p} = \left\{ {\hat p_1 ,\hat p_2 ,\hat p_3 } \right\}$

è la seguente:

$\left [\hat{x}_i, \hat{p}_j\right ]=i \hslash \delta_{ij}$

dove $\delta_{ij}$ è la delta di Kronecker.

Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove $n$ è un intero maggiore o uguale a zero e $f(p)$ e $g(x)$ due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:

• $\left [\hat{x}, \hat{p}^n\right ] = i \hslash n \hat{p}^{n-1}$
• $\left [\hat{x}^n, \hat{p}\right ] = i \hslash n \hat{x}^{n-1}$
• $\left [\hat{x}, f(\hat{p})\right ] = i \hslash \frac{\partial f}{\partial p}$
• $\left [g(\hat{x}), \hat{p}\right ] = i \hslash \frac{\partial g}{\partial x}$

Anticommutatore

Sia $A$ un anello. L'anticommutatore di due elementi $a$ e $b$ è l'elemento:

$\{a,b\}=ab+ba$

L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori, ovvero:

$\{a,b\}=ab+ba$

con $a$ e $b$ che sono due operatori.

L'algebra graduata

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Gli anelli graduati

Un anello graduato A is un anello che ha una decomposizioni in una somma diretta di gruppi (abeliani) additivi:

$A = \bigoplus_{n\in \mathbb N}A_n = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots$

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfa alla seguente proprietà:

$x \in A_s, y \in A_r \implies xy \in A_{s+r}$

e così che:

$A_s A_r \subseteq A_{s + r}.$

Gli elementi $A_n$ sono noti come elementi omogenei di grado n. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento $a\in A$ ammette una decomposizione unica come somma:

$a=\sum _{n} a_n$

dove $a_n\in A_n$ per tutti gli $n\in\mathbb{N}$; gli elementi $a_n$ sono talvolta chiamati parti omogenee di $a$.

Un sottoinsieme ideale oppure un sottoinsieme $\mathfrak{a}$ ⊂ A è omogeneo se per ogni elemento a ∈ $\mathfrak{a}$, le parti omogenee di a sono pure contenute in $\mathfrak{a}.$

Se I è un insieme omogeneo ideali in A, allora $A/I$ è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

$A/I = \bigoplus_{n\in \mathbb N}(A_n + I)/I.$

L'algebra graduata definizione formale

Un'algebra A su un anello R è un'algebra graduata se è graduato come un anello. Nel caso in cui un anello R è anche un anello graduato, allora si richiede che:

1. A_iR_j ⊂ A_i+j, e
2. R_iA_j ⊂ A_i+j.

Si noti che la definizione di 'anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove "R" è graduato in modo banale (ogni elemento della "R" è di grado zero).

Superalgebra

In matematica e in fisica teorica una superalgebra è una Z₂- algebra graded (algebra graduata). Vale a dire, si tratta di un'algebra su un anello commutativo o un campo che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari" ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".

Il prefisso super- deriva dalla teoria della supersimmetria in fisica teorica. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria . Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.

Definizione formale

Sia K un fissato anello commutativo; nella maggior parte delle applicazioni K è un campo come R o C.

Una superalgebra su K è un K-modulo A con una decomposizione in una somma diretta:

$A = A_0\oplus A_1$

con una moltiplicazione bilineare A × A → A tale che:

$A_iA_j \sube A_{i+j}$

con gli indici che hanno modulo 2.

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• Junker G. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer-Verlag (1996).
• Kane G. L., Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X.
• Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
• Wess, Julius, and Jonathan Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4.
• Bennett GW, et al; Muon (g−2) Collaboration (2004). Measurement of the negative muon anomalous magnetic moment to 0.7 ppm. Physical Review Letters 92 (16): 161802. DOI:10.1103/PhysRevLett.92.161802. PMID 15169217.
• (EN) Cooper F., A. Khare, U. Sukhatme. Supersymmetry in Quantum Mechanics, Phys. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv:hep-th/9405029).
• (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
• (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

• Algebra di Lie graduata
• Algebra astratta
• Algebra supersimmetrica
• Algebra graduata
• Algebra di Super-Poincaré
• Anello commutativo
• Ideale

Collegamenti esterni

• (EN) A Supersymmetry Primer, S. Martin, 1999.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Joseph D. Lykken, 1996.
• (EN) An Introduction to Supersymmetry, Manuel Drees, 1996.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Adel Bilal, 2001.
• (EN) An Introduction to Global Supersymmetry, Philip Arygres, 2001.
• (EN) Weak Scale Supersymmetry, Howard Baer and Xerxes Tata, 2006.
• (EN) New g−2 measurement deviates further from Standard Model, Brookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004)
• (EN) Fermilab's CDF scientists have discovered the quick-change behavior of the B-sub-s meson, Fermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006).

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