Algebra simmetrica

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In matematica per algebra simmetrica su uno spazio vettoriale V su un determinato campo K si intende una K-algebra commutativa che denotiamo S(V,K), costruita in un modo che consente di avere una proprietà universale.

In effetti si trova che questa costruzione equivale a costruire l'anello dei polinomi su K, in indeterminate che possano identificarsi con i vettori di una base dello spazio V. La costruzione dell'algebra simmetrica sostanzialmente aggiunge solo qualcosa, nel caso la naturalità di vedere i polinomi in questo modo presenti qualche vantaggio. La costruzione può anche considerarsi un caso particolare della costruzione dell'algebra inviluppo universale, il caso in cui ogni bracket è nullo.

È possibile descrivere l'algebra simmetrica S(V,K) mediante l'algebra tensoriale T(V). Infatti si passa dall'algebra tensoriale all'algebra simmetrica imponendo a questa di essere commutativa; se gli elementi di V commutano, devono commutare anche i relativi tensori, in modo che possiamo prendere l'anello quoziente di T(V) determinato dall'ideale generato da tutte le differenze di prodotti v w - w v per v e w arbitrari vettori in K.

Assunto l'anello dei polinomi come modello, ci si aspetta, e si può dimostrare, una decomposizione di S(V) in quanto algebra graduata come somma diretta nei sommandi

S^k(V) \quad \mbox{ per } \quad k = 0, 1, 2, ...

ciascuno dei quali consiste nello span lineare dei monomi di grado k costruiti con i vettori di V. Questo consente di considerare le potenze simmetriche di V, come funtori confrontabili con le potenze esterne, benché in questo caso, naturalmente, la dimensione cresca con k.

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