Algebra di Lie risolubile

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In matematica, un'algebra di Lie \mathfrak{g} si dice risolubile se la sua serie derivata, definita come

 \mathfrak{g} \geq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \geq [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]] \geq [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]]  \geq ...

diviene 0 dopo un numero finito di passaggi.

Ogni algebra di Lie nilpotente è risolubile, ma il viceversa non è vero. L'ideale risolubile massimale è detto radicale.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Sia \mathfrak{g} un'algebra di Lie finito-dimensionale su un campo di caratteristica 0. Allora sono equivalenti:

  1. \mathfrak{g} è risolubile
  2. \operatorname{ad}(\mathfrak{g}), la rappresentazione aggiunta di \mathfrak{g}, è risolubile.
  3. Esiste una successione finita di ideali \mathfrak{a}_i di \mathfrak{g} tali che:
    \mathfrak{g} = \mathfrak{a}_0 \supset \mathfrak{a}_1 \supset ... \mathfrak{a}_r = 0 where [\mathfrak{a}_i, \mathfrak{a}_i] \subset \mathfrak{a}_{i+1} for all i.
  4. [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] è nilpotente.

Il teorema di Lie afferma che se V è uno spazio vettoriale finito-dimensionale su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0, e \mathfrak{g} è un'algebra di Lie risolubile su V, allora \mathfrak{g} esiste una base di V per la quale tutte le matrici degli elementi di sono triangolari superiori.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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