Accelerazione istantanea

L'accelerazione istantanea è il tasso di cambiamento della velocità in un dato istante.

Questo valore è legato all'accelerazione media da una relazione di limite (così come la velocità istantanea è legata alla velocità media).

Definizione

L'accelerazione istantanea è definita come limite per intervalli di tempo tendenti a zero della variazione della velocità media:

$\vec {a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta\vec {v}}{\Delta\ t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\vec {v} (t + \Delta\ t) - \vec {v}(t)}{\Delta t}$

Facendo uso del concetto di derivata è possibile scrivere anche:

$\vec {a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta\vec {v}}{\Delta t} = \frac {d\vec {v}}{dt}$

L'accelerazione, così come la velocità, è una grandezza vettoriale: basti pensare al caso del moto circolare uniforme, nel quale la velocità è un vettore di modulo costante ma direzione e verso variabili, e caratterizzato di conseguenza da accelerazione (accelerazione centripeta).

In particolare, scomponendo il vettore velocità nelle sue componenti otteniamo (nel caso ad esempio di due dimensioni):

$\vec {a} = \frac {d\vec v}{dt} = \frac {dv_x}{dt} \hat{\imath} + \frac {dv_y}{dt} \hat{\jmath}$

Nel caso a tre dimensioni:

$\vec {a} = \frac {d\vec v}{dt} = \frac {dv_x}{dt} \hat{\imath} + \frac {dv_y}{dt} \hat{\jmath} + \frac {dv_z}{dt} \hat{k}$

dove $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$ e $\hat{k}$ sono i versori rispettivamente dell'asse x, dell'asse y e dell'asse z.

Accelerazione istantanea in funzione della legge oraria

Poiché la velocità è derivata prima della legge oraria, a sua volta l'accelerazione istantanea è derivata seconda di questa funzione:

$\vec {a} = \frac {d\vec {v}}{dt} = \frac {d}{dt} \frac {d\vec {r}}{dt} = \frac {d^2\vec {r}}{dt^2}$

Cioè è la derivata seconda rispetto al tempo del vettore posizione $\vec{r}$.

Significato geometrico

L'accelerazione istantanea, quindi, è la tangente alla curva velocità-tempo nel punto fissato, così come è il significato geometrico della derivata prima. Sarà quindi uguale alla pendenza della retta tangente alla curva nel punto in cui viene calcolata.

Attraverso lo studio della curva nel grafico velocità-tempo si possono ricavare ulteriori importanti informazioni.

Dall'angolo che la tangente forma con l'asse del tempo è possibile ricavare l'andamento dell'accelerazione, per cui sarà negativa se la tangente forma un angolo superiore ai 90 gradi con l'asse t, positiva se rimane sotto i 90 gradi, mentre l'accelerazione sarà nulla se la tangente è parallela a questo asse. Il grafico, quindi, mostra come l'andamento del grafico velocità-tempo si ripercuota su quello accelerazione-tempo.

Inoltre si noti come a valori positivi della curva accelerazione-tempo corrispondano valori crescenti della curva velocità-tempo.

Poiché l'accelerazione è derivata seconda del grafico spazio-tempo, si può anche ricavare l'andamento della curva accelerazione-tempo studiando la concavità:

Bibliografia

• C. Mencuccini - V. Silvestrini, Fisica I (Meccanica e Termodinamica) 3^a ed., 1996, Liguori Editore ISBN 8820714930 (3), pag. 46 e seguenti.

Voci correlate

• Accelerazione
• Accelerazione media
• Accelerazione centripeta
• Accelerazione tangenziale
• Moto uniformemente accelerato
• Moto circolare uniforme
• Moto parabolico
• Jerk, la derivata dell'accelerazione rispetto al tempo

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