Accelerazione centripeta

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In cinematica si definisce accelerazione centripeta la variazione della velocità di un punto materiale in un moto che si dirige verso il centro della circonferenza, cioè la componente dell'accelerazione lungo la normale alla traiettoria.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Moto circolare.

L'accelerazione, nella sua definizione generale, quantifica dunque sia la variazione di direzione sia la variazione del modulo della velocità. L'accelerazione è, quindi, un vettore. Come tale essa si può scomporre in due componenti. Si è visto che la componente perpendicolare alla traiettoria (accelerazione centripeta) quantifica il cambio di direzione del vettore velocità. La componente tangente alla traiettoria quantifica la variazione del modulo del vettore velocità ed è detta accelerazione tangenziale.

Il vettore accelerazione centripeta, quindi, per definizione, è in ogni istante perpendicolare al vettore velocità e non contribuisce alla variazione del modulo di quest'ultima, variazione che è invece legata all'accelerazione tangenziale.

Cerchio osculatore in una traiettoria qualunque

Sappiamo dal moto circolare uniforme che la velocità lineare v è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:

\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}

relazione che è un prodotto vettoriale; per cui v è ortogonale al piano formato da ω e da r, e viceversa, il vettore ω è ortogonale al piano formato da v e da r, cioè dal piano sul quale avviene il moto.

Data una traiettoria C giacente in un piano, e tracciato per un punto P in moto il cerchio osculatore (ovvero il cerchio tangente in ogni istante alla traiettoria in P) si trova che:

\mathbf{a}(t) = \frac{\operatorname{d}\mathbf{v}(t)}{\operatorname{d}t} = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})

Usando la regola di derivazione del prodotto, si arriva alla relazione:

\mathbf{a}(t) = \mathbf{a}_c + \mathbf{a}_t = \boldsymbol{\omega} \times \frac{\operatorname{d}\mathbf{r}}{\operatorname{d}t} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}

dove chiaramente il primo addendo rappresenta l'accelerazione centripeta ac diretta come r, ma negativa, quindi verso il centro e il secondo addendo rappresenta l'accelerazione tangenziale at a cui si rimanda, il simbolo rappresenta l'accelerazione angolare.

Componenti dell'accelerazione del moto circolare generico

Nel caso di moto circolare uniforme la velocità angolare ω = costante, e quindi l'accelerazione angolare = 0, per cui l'accelerazione si riduce alla sola componente centripeta:

\mathbf{a}(t) = \mathbf{a}_c = \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) = - \omega^2 r \mathbf{e}_r

dove er rappresenta il versore del raggio e poiché ω × r = v. Il modulo del vettore accelerazione centripeta risulta quindi:

|\mathbf{a}_c| = \omega^2 r = \omega v = \frac{v^2}{r}

ricordando la relazione che lega le velocità angolare e tangenziale.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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