1 + 2 + 4 + 8 + · · ·

In matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + … è la serie divergente infinita i cui termini sono le potenze successive di due. È una serie geometrica di ragione 2:

$\sum_{i=0}^{\infty} 2^i.$

Come detto, la serie diverge all'infinito, e pertanto non possiede una "somma", almeno nel senso più usuale del termine.

Si può però, sfruttando l'approccio di Eulero alle serie divergenti, studiare la serie di potenze associata:

$f(x) = 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots = \sum_{i=0}^{\infty} 2^i{}x^i$

che, per x = 1, coincide con la serie originale. Si osservi che questa nuova serie ha raggio di convergenza ¹/₂, e quindi non converge per x = 1. All'interno del disco di convergenza vale però f(x) = 1/(1 − 2x), e tale f è estendibile a tutto il piano complesso escluso il punto x = ¹/₂. Dato che f(1) = −1, si dice che la serie originale 1 + 2 + 4 + 8 + … è E-sommabile con E-somma uguale a −1. (La notazione E-sommabilità è dovuta a Hardy in riferimento appunto alle idee di Eulero.)

Alternativamente, un altro modo di associare alla serie il valore −1 consiste nell'osservare che si può riscrivere

$\begin{array}{rcl} S & = &\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em] & = &\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots) \\[1em] & = &\displaystyle 1+2S, \end{array}$

e che questa equazione ammette le due soluzioni $S = \infty$ e $S = -1$.

Nell'insegnamento della matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + … è l'esempio principale presentato per definire una serie geometrica divergente con termini positivi.

Bibliografia

• Jacques Barbeau, Euler's 1760 paper on divergent series. Historia Mathematica 3 (2), 1976.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica