1 + 2 + 4 + 8 + ...

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In matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + … è la serie divergente infinita i cui termini sono le potenze successive di due. È una serie geometrica di ragione 2:

\sum_{i=0}^{\infty} 2^i.

Somme parziali[modifica | modifica sorgente]

La serie in questione ha come somma parziale:

\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1}-1

La dimostrazione si può svolgere per induzione su 'n'. Per n=0 la formula è evidentemente corretta. Se poniamo adesso per ipotesi che sia corretta per 'n-1' cioè:

\sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^{n}-1

Allora abbiamo:

\sum_{i=0}^{n} 2^i = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i + 2^{n}= 2^{n} - 1 + 2^{n}=2^{n+1} - 1

Dove il penultimo passaggio segue dall'ipotesi induttiva.

Somma[modifica | modifica sorgente]

Come detto, la serie diverge all'infinito, e pertanto non possiede una "somma", almeno nel senso più usuale del termine.

Si può però, sfruttando l'approccio di Eulero alle serie divergenti, studiare la serie di potenze associata:

f(x) = 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots = \sum_{i=0}^{\infty} 2^i{}x^i

che, per x = 1, coincide con la serie originale. Si osservi che questa nuova serie ha raggio di convergenza 1/2, e quindi non converge per x = 1. All'interno del disco di convergenza vale però f(x) = 1/(1 − 2x), e tale f è estendibile a tutto il piano complesso escluso il punto x = 1/2. Dato che f(1) = −1, si dice che la serie originale 1 + 2 + 4 + 8 + … è E-sommabile con E-somma uguale a −1. (La notazione E-sommabilità è dovuta a Hardy in riferimento appunto alle idee di Eulero.)

Alternativamente, un altro modo di associare alla serie il valore −1 consiste nell'osservare che si può riscrivere

\begin{array}{rcl}
S & = &\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]
  & = &\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots) \\[1em]
  & = &\displaystyle 1+2S,
\end{array}

e che questa equazione ammette le due soluzioni  S = \infty e  S = -1 .

Nell'insegnamento della matematica, 1 + 2 + 4 + 8 + … è l'esempio principale presentato per definire una serie geometrica divergente con termini positivi.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Jacques Barbeau, Euler's 1760 paper on divergent series. Historia Mathematica 3 (2), 1976.
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