Spazio vettoriale simplettico

In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione pari dotato di una funzione

$\omega :V\times V\to \mathbb {R}$

tale che, per ogni $v,v',w,w'$ in $V$ e per ogni $\lambda ,\mu$ in $\mathbb {R}$

$\omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)$

$\omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')$

$\omega (v,v)=0$

$\omega (v,w)=0$ per ogni $w$ implica $v=0$

In altre parole, $\omega$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio $V$ munito della forma $\omega$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, $\omega$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia $M$ la matrice di dimensione $m\times m$ , con $m=\dim V$,che rappresenta la forma bilineare $\omega$ in un qualche base, ovvero

$\omega (u,v)=u^{\text{T}}Mv\qquad \forall \ u,v\in V$

Allora, dal momento che la forma $\omega$ è antisimmetrica anche $M$ lo sarà e dunque

$\det W=\det W^{\text{T}}=(-1)^{m}\det W$

dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che $W$ è invertibile vale $\det M\neq 0$, e quindi dalla precedente espressione si evince che $m=2n$, e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.

Base simplettica canonica

Dato uno spazio vettoriale simplettico $(V,\omega )$ di dimensione $2n$ la base $\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n}\}$

tale che

$\omega (\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})=0\qquad \omega (\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})=0\qquad \omega (\mathbf {e} _{i},\mathbf {f} _{j})=\delta _{ij}$

per ogni $i,j=1,\dots ,n$ è detta base simplettica canonica. In tale base il prodotto simplettico diviene

$\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{\text{T}}J\mathbf {v}$

dove $J$ è la matrice a blocchi data da

$J={\begin{bmatrix}\mathbf {0} _{n}&\mathbf {I} _{n}\\-\mathbf {I} _{n}&\mathbf {0} _{n}\end{bmatrix}}$

detta matrice unità simplettica.

Proprietà della matrice unità simplettica

La matrice $J$ soddisfa alcune proprietà, quali

• $J^{2}=-\mathbf {I} _{2n}$
• $J^{\text{T}}=J^{-1}=-J$
• $\det J=1$

Esistenza

Si può dimostrare che ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica canonica.

Sottospazi

Dato uno spazio vettoriale simplettico $(V,\omega )$ ed un suo sottospazio vettoriale $W$, possiamo definire il complemento ortogonale simplettico di $W$ come

$W^{\perp }=\{\mathbf {u} \in V{\mbox{ tali che }}\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\ \forall \ \mathbf {v} \in W\}$

Allora il sottospazio $W$ si dice

• Isotropo se $W\subset W^{\perp }$
• Lagrangiano (o massimalmente isotropo) se $W=W^{\perp }$
• Coisotropo se $W\supset W^{\perp }$

Se $\dim V=2n$, allora la dimensione degli spazi isotropi è compresa tra $0$ e $n-1$, quella degli spazi coisotropi tra $n+1$ e $2n$ e quella degli spazi Lagrangiani è necessariamente $n$.

La forma simplettica è identicamente nulla sugli spazi isotropi o lagrangiani

$\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\qquad \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in W{\mbox{ isotropo o lagrangiano}}$

Esempio

Dato lo spazio vettoriale $V=\operatorname {span} \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}\}$ dotato della forma simplettica standard, il sottospazio $W=\operatorname {span} \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}$ è lagrangiano.

Simplettomorfismi

Un simplettomorfismo tra due spazi vettoriali simplettici $(V_{1},\omega _{1})$ e $(V_{2},\omega _{2})$ è un isomorfismo lineare $\phi :V_{1}\to V_{2}$ tale che $\phi ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}$.

In altre parole, questo significa che se vale

$\omega _{2}(\phi (\mathbf {u} ),\phi (\mathbf {v} ))=\omega _{1}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$

per ogni coppia di vettori $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V_{1}$, allora $\phi$ è un simplettomorfismo. In tal caso i due spazi si dicono simplettomorfi.

Si può dimostrare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale simplettico $(V,\omega )$ di dimensione $2n$, questo è simplettomorfo a $(\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$, dove $\omega _{0}$ è la forma simplettica standard.

Bibliografia

• Ralph Abraham e Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, capitolo 3, London ISBN 0-8053-0102-X.
• Dusa McDuff e D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.

Voci correlate

• Matrice simplettica
• Gruppo simplettico
• Matrice anti-hamiltoniana

Collegamenti esterni

• Introduzione alla geometria simplettica (PDF), su alpha01.dm.unito.it. URL consultato il 6 marzo 2009 (archiviato dall'url originale il 21 settembre 2006).
• Strutture di Poisson e strutture complesse (PDF), su caressa.it.