Metrica di Reissner-Nordström

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In fisica e astronomia, la metrica di Reissner-Nordström è una soluzione statica alle equazioni di campo di Einstein nello spazio vuoto, che corrisponde al campo gravitazionale di un corpo sfericamente simmetrico, carico, non-rotante e di massa M.

Scoperta da Hans Reissner e Gunnar Nordström, la metrica può essere scritta come

dove

τ è il tempo proprio (tempo misurato da un orologio che si muove con la particella) in secondi,
c è la velocità della luce in metri per secondo,
t è il tempo coordinata (misurato da un orologio stazionario all'infinito) in secondi,
r è la coordinata radiale (circonferenza di un cerchio centrato sulla stella divisa da 2π) in metri,
un punto sulla sfera bidimensionale ,
, i.e. la metrica su una sfera bidimensionale di raggio unitario,
rs è il raggio di Schwarzschild (in metri) del corpo massivo, il quale è relazionato alla sua massa M da
dove G è la costante gravitazionale, e
rQ è una lunghezza di scala corrispondente alla carica elettrica Q della massa
dove 1/4πε0 è la costante della forza di Coulomb.[1]

Nel limite in cui la carica Q (o in modo equivalente, la lunghezza scala rQ) vada a zero, si recupera la metrica di Schwarzschild. La classica teoria newtoniana della gravità può allora essere riottenuta quando il rapporto rs/r va a zero. In questo limite, la metrica ritorna alla metrica di Minkowski per la relatività speciale

In pratica, il rapporto rs/r è quasi sempre molto piccolo. Per esempio, il raggio di Schwarzschild rs della Terra è approssimativamente 9 mm (³⁄8 pollici); siccome un satellite in un'orbita geosincrona ha a raggio r che è approssimativamente quattro miliardi di volte più grande, a 42,164 km (26,200 miglia). Anche sulla superficie della Terra le correzioni alla gravità newtoniana sono solo una parte su un miliardo. Il rapporto diventa grande solo vicino ai buchi neri ed altri oggetti molto compatti come le stelle di neutroni.

Buchi neri carichi

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Sebbene i buchi neri carichi con sono simili al buco nero di Schwarzschild, essi hanno due orizzonti: l'orizzonte degli eventi e un orizzonte di Cauchy interno. Come al solito, l'orizzonte degli eventi per lo spaziotempo può essere trovato analizzando l'equazione

Questa equazione quadratica per r ha soluzioni

Questi orizzonti degli eventi concentrici diventano degeneri per alla quale corrisponde un buco nero estremale. Si pensa che i buchi neri con non possano esistere in natura a causa della presenza di una singolarità nuda; a tale proposito si veda la ipotesi di censura cosmica di Roger Penrose. Le teorie di supersimmetria di solito garantiscono che tali buchi neri "superestremali" non possano esistere.

Il potenziale elettromagnetico è

Se vengono inclusi anche i monopoli magnetici, allora si può generalizzare il risultato includendo la carica magnetica , ovvero sostituendo con nella metrica e includendo il termine nel potenziale elettromagnetico.

Correzioni quantistiche alla metrica

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In certe teorie di gravità quantistica, la metrica classica di Reissner–Nordström riceve correzioni quantistiche. Un esempio di ciò è dato da un approccio di teoria di campo effettiva iniziato da Barvinsky e Vilkovisky[2][3][4][5] negli anni Ottanta. Al secondo ordine in curvatura, all'azione di Einstein-Hilbert vengono aggiunti nuovi termini, locali e non-locali:

dove è una scala di energia. I valori esatti dei coefficienti sono sconosciuti, in quanto dipendono dalla ipotetica teoria unificata di gravità quantistica. Al contrario, i coefficienti sono perfettamente calcolabili[6]. L'operatore ha la rappresentazione integrale

I nuovi termini nell'azione portano a una modifica della soluzione classica. La metrica di Reissner-Nordström con le correzioni quantistiche, valida all'ordine è stata trovata da Campos Delgado[7]:

dove

  1. ^ Landau 1975.
  2. ^ A.O, G.A Barvinsky, Vilkovisky, The generalized Schwinger-DeWitt technique and the unique effective action in quantum gravity, in Phys. Lett. B, vol. 131, 1983, p. 313-318, DOI:10.1016/0370-2693(83)90506-3.
  3. ^ A.O, G.A Barvinsky, Vilkovisky, The Generalized Schwinger-DeWitt Technique in Gauge Theories and Quantum Gravity, in Phys. Rept., vol. 119, 1985, p. 1-74, DOI:10.1016/0370-1573(85)90148-6.
  4. ^ A.O, G.A Barvinsky, Vilkovisky, Beyond the Schwinger-Dewitt Technique: Converting Loops Into Trees and In-In Currents, in Nucl. Phys. B, vol. 282, 1987, p. 163-188, DOI:10.1016/0550-3213(87)90681-X.
  5. ^ A.O, G.A Barvinsky, Vilkovisky, Covariant perturbation theory. 2: Second order in the curvature. General algorithms, in Nucl. Phys. B, vol. 333, 1990, p. 471-511, DOI:10.1016/0550-3213(90)90047-H.
  6. ^ John F. Donoghue, Nonlocal quantum effects in cosmology: Quantum memory, nonlocal FLRW equations, and singularity avoidance, in Phys.Rev.D, vol. 89, 2014, p. 10, DOI:10.1103/PhysRevD.89.104062.
  7. ^ Ruben Campos Delgado, Quantum gravitational corrections to the entropy of a Reissner-Nordström black hole, in Eur. Phys. J. C, vol. 82, 2022, p. 272, DOI:10.1140/epjc/s10052-022-10232-0.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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