Intorno

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In analisi matematica e in topologia, un insieme è detto intorno di un punto se contiene un insieme aperto contenente il punto.[1] Un intorno di un punto senza il punto si dice intorno bucato o anulare.

Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite. Un intorno di un punto è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a si dice che vale "per ogni intorno di ".

Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.

Spazi topologici

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In un generico spazio topologico , un intorno di un punto è un insieme che contiene almeno un insieme aperto contenente , cioè [1], che è l'abbreviazione di e

L'insieme non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui sia aperto, si parla di intorno aperto, invece quando è chiuso viene definito intorno chiuso.

Intorni sferici

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Nel caso di uno spazio metrico si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l'intorno sferico (o circolare) aperto di un punto in di raggio definito come l'insieme:

L'insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro e raggio (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo il simbolo nella definizione di . Se si indica con la chiusura di un insieme allora è coerente indicare con il disco chiuso di centro e raggio ). Un esempio è l'intorno di raggio quando si considera , che risulta poi essere un intervallo contenente del tipo , o , ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, sia aperto o chiuso in .

I dischi aperti tornano molto utili nell'Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l'intorno di un punto come un qualunque sottoinsieme di tale che esista un in corrispondenza del quale Così facendo, tra l'altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro. In secondo luogo, un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma), è convesso. Sia infatti uno spazio normato, e . Se , e è la curva , allora, posto , si ha

e quindi, tenendo conto che per ogni risulta , si ha

qualunque sia . Ne segue che è convesso. Da quanto abbiamo appena dimostrato discende che è semplicemente connesso.

Base di intorni

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Una base di intorni (o anche sistema di intorni) è un insieme di intorni di un punto fissato "arbitrariamente piccoli": una base di intorni identifica la "struttura topologica locale" del punto.

Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di contiene uno di questi intorni.

Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.

Spazio euclideo

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Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico spazio euclideo di dimensione . Nello spazio euclideo, come da definizione, un intorno di è sempre un insieme contenente un insieme aperto , contenente a sua volta . In particolare:

  • Un intorno sferico aperto di raggio è l'insieme

dove si fa uso della distanza euclidea.

  • Un intorno rettangolare è un intorno del tipo

dove ciascun è un intervallo in , intorno della coordinata -esima di .

Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della retta reale. Un intorno di un punto della retta reale è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo

dove è un numero positivo. In particolare:

  • L'intorno è aperto se è un insieme aperto
  • L'intorno aperto di raggio è l'intervallo aperto .

Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l'intervallo con è un intorno chiuso di .

La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa: un intorno di è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma , per qualche reale. Analogamente un intorno di è un insieme contenente .

  1. ^ a b M. Manetti, p. 42.

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